Javascriptでよく出てくる、角度を表す単位「ラジアン」って何?(前編)

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Javascriptを書いていて、書き方を調べたりしていると、円周率とかサインとかコサインの計算で必要な値を求める式が出てくることが多いです。
数学が得意ではないので、「こういうものか」と思って式の意味を深く考えず、人生の意味ばかり考えて過ごしていたのですが、よくよく見ると聞きなれない単語がいろんなところに登場している事に気つきました。

例えば
正弦(サイン)を計算するMathオブジェクトのsinメソッド。

引数にラジアンをとります。

例えば
円弧を描くcanvasのarc()メソッド。

x、y、rはそれぞれ円弧の中心点のx座標、y座標、円弧の半径、そして最後の引数はどっち回りに円弧を描くかの指定(falseで時計回り)です。
問題は、第4、第5引数の、angle1、angle2です。それぞれ円弧の開始角度、終了角度を指定します。
ここも単位がラジアンなのです!

ラジアン。

このラジアンという謎の単語を知ることが、数学的な計算を少しでも理解するきっかけになるのではないか、と思い、ラジアンを知る旅に出てみました。

ラジアンって何

ラジアンって何

ラジアンの特長をまとめてみました。

  • 角度を表す単位
  • ふだん使っている「角度(degree)」とは違う
  • ラジアンの定義:円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度
  • ラジアン = 弧の長さ / 半径の長さ(弧の長さ = 半径の長さ のとき 1ラジアン)
  • 角度への変換式:角度 = ラジアン × 180 / π
  • ラジアンへの変換式:ラジアン = 角度 × π / 180

!!
なってこった!
ぜんぜんわからねえ…

あまりにも圧倒的なラジアンの壁です。

落ち着いて、少しずつひも解いていきたいと思います。

半径と弧の長さが等しいとき1ラジアン

半径と弧の長さが等しいとき1ラジアン

数学の授業で習った気がする公式のおさらい

まずは、ラジアンと深い関係にありそうな公式のおさらいをしてみたいと思います。
数学の授業でならった気がするものばかりです。

円周率

円周率(π) = 円周の長さ ÷ 直径

円周の長さ

円周の長さ = 直径 × 円周率

弧の長さ

弧の長さ = 2 × 半径r × 円周率 × (中心角a / 360)

弧の長さ

弧の長さ

円にならない弧の場合、円周全体の長さを、「円を何分割したか」の値で掛け算します。
「円を何分割したか」は、残っている角度a / 円の角度360度 で求めます。

正弦(サイン|sin)、余弦(コサイン|cos)

三角関数

三角関数

上の図で、

これが公式です。

サインやコサインは、直角三角形の角や辺の大きさの関係を表す「三角比」の一種です。

例えばAが30度のとき、

となります。
角度と組み合わせて表記するんですね。

角度とラジアンの関係

公式をおさらいしたところで、私たちが慣れ親しんでいる「角度(degree)」と、よく分からない「ラジアン」の関係についてみていきましょう。
変換式は次のようなものでした。

  • 角度 = ラジアン × 180 / π
  • ラジアン= 角度 × π / 180

なぜこの式になるのでしょうか。

角度とラジアンの変換式の説明

円一周の角度は360度です。
それに対応するラジアンは 2π となります。

なぜ 360度 = 2π(ラジアン) か。
公式を思い出しつつ考えてみます。

円の半径を便宜的に1とします。
これを基準に360度の円周の長さを算出します。
(半径の長さが変わってもラジアンには影響ありません)

これは円周の長さを弧の長さに置き換えても同じです。

これをラジアンの公式に当てはめると

となります。

よって、

となるのです。

ここから、下記の角度とラジアンの法則が導かれます。

180度 = π(ラジアン)をベースに1度を考えると、左辺と右辺を180で割って、

となります。

ここから以下の式が求められます。

30度なら

ですね。

抽象化すると

というわけで、下記の公式が成立します。

ラジアン= 角度 × π / 180

角度を出す公式(角度 = ラジアン × 180 / π)も、同じ流れで説明できるでしょう。


おつかれさまです。
めまいがしてきて、私の中で物事に対する善悪の基準が逆転しそうなので、今日はこのへんで終了します。
後編は、実際にスクリプト上でどんなふうに出てくるかみてみたいと思います。

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